El mensaje de mysql_old_password significa que la contraseña de tu usuario de acceso MySQL está almacenada con un formato de encriptación que ha sido clasificado como obsoleto.
Con el paso del tiempo, el formato de encriptación de claves que usa MySQL ha ido cambiando por algoritmos más potentes y seguros. Debido a la forma que las claves se gestionan, no existe un mecanismo para actualizar el algoritmo de claves ya generadas de forma automática. Esto sucede justamente, porque almacenamos las claves de forma tal que ni siquiera nosotros podemos saberlas.
Cada vez más lenguajes de programación y clientes de MySQL van a exigir formatos de encriptación más modernos, y para evitar problemas de compatibilidad con ellos es importante que actualices tu clave. No es necesario que la cambies, podés simplemente volver a ingresar la misma que ya tenías desde la administración de Usuarios MySQL de tu Panel de Control. El solo hecho de reasignarla es suficiente para que podamos actualizar el algoritmo de encriptación y mejorar la seguridad y compatibilidad futura de tu cuenta.
Si estás viendo este mensaje al ingresar al administrador MySQL (phpMyAdmin) desde el Panel de Control, es por el mismo motivo. Esto NO afecta a los sitios que ya están andando. Pero a partir de PHP7.1 va a ser un requisito, por lo que si querés asegurarte poder actualizar a futuro sin problemas, te recomendamos hagas la actualización de claves lo antes posible.
En resumen, para evitar el mensaje de error debés ingresar a Bases de Datos -> Usuarios, seleccionar el usuario deseado y modificar o reasignar la clave. Inmediatamente desaparecerá el alerta.